某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣污染狀況后,建立了一個預(yù)測該市一天中的大氣污染指標(biāo)f(t)與時間t(單位:小時)之間的關(guān)系的函數(shù)模型:,其中,代表大氣中某類隨時間t變化的典型污染物質(zhì)的含量;參數(shù)a代表某個已測定的環(huán)境氣象指標(biāo),且
(1)求g(t)的值域;
(2)求f(t)的最大值M(a)的表達(dá)式;
(3)若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,試問:若按給定的函數(shù)模型預(yù)測,該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會超標(biāo)?請說明理由.
【答案】分析:(1)先根據(jù)t的范圍求出|t-18|的范圍,進(jìn)而求出|t-18|的范圍,然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出g(t)的值域;
(2)由題意先求出f(t)的解析式,然后在區(qū)間[0,]和(,]上討論絕對值的取值得到M(a)的解析式為分段函數(shù);
(3)利用(2)的結(jié)論,分時和時分別討論M(a)的最值與2的關(guān)系即可.
解答:解:(1)因為0≤t≤24,
得到|t-18|∈[,],
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到g(t)的值域為[0,];
(2)由(1)可知g(t)的值域為[0],f(t)的最大值M(a),
當(dāng)a∈[0,]時,M(a)=|+-a|+2a=a+;
當(dāng)a∈(,]時,M(a)=|-a|+2a=3a-
則有M(a)=
(3)當(dāng)時,M(a)=+=<2;
當(dāng)時,M(a)=
所以若按給定的函數(shù)模型預(yù)測,該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不會超標(biāo).
點評:本題考查利用函數(shù)知識解決應(yīng)用題的有關(guān)知識.新高考中的重要的理念就是把數(shù)學(xué)知識運用到實際生活中,如何建模是解決這類問題的關(guān)鍵.同時要熟練地利用導(dǎo)數(shù)的知識解決函數(shù)的求最值問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣污染狀況后,建立了一個預(yù)測該市一天中的大氣污染指標(biāo)f(t)與時間t(單位:小時)之間的關(guān)系的函數(shù)模型:f(t)=|g(t)+
1
3
-a|+2a,t∈[0,24)
,其中,g(t)=
1
2
sin(
π
24
|t-18|)
代表大氣中某類隨時間t變化的典型污染物質(zhì)的含量;參數(shù)a代表某個已測定的環(huán)境氣象指標(biāo),且a∈[0,
3
4
]

(1)求g(t)的值域;
(2)求f(t)的最大值M(a)的表達(dá)式;
(3)若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,試問:若按給定的函數(shù)模型預(yù)測,該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會超標(biāo)?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣污染狀況后,建立了一個預(yù)測該市一天中的大氣污染指標(biāo)f(t)與時間t(單位:小時)之間的關(guān)系的函數(shù)模型:數(shù)學(xué)公式,其中,數(shù)學(xué)公式代表大氣中某類隨時間t變化的典型污染物質(zhì)的含量;參數(shù)a代表某個已測定的環(huán)境氣象指標(biāo),且數(shù)學(xué)公式
(1)求g(t)的值域;
(2)求f(t)的最大值M(a)的表達(dá)式;
(3)若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,試問:若按給定的函數(shù)模型預(yù)測,該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會超標(biāo)?請說明理由.

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