若將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=a(如圖).
(Ⅰ)若a=2
2
,求證:AB平面CDE;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的值,使得二面角A-EC-D的大小為60°.
(Ⅰ)證明:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則
A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,
2
),D(0,2,0),E(0,0,2
2
),
AB
=(2,0,0),
DE
=(0,-2,2
2
),
DC
=(1,-1,
2
)
(2分)
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為
n1
=(x,y,z)

則有-2y+2
2
z=0,x-y+
2
z=0
,
z=
2
時(shí),
n1
=(0,2,
2
)
(4分)
AB
n1
=0
,又AB不在平面CDE內(nèi),所以AB平面CDE;(7分)
(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,
2
),D(0,2,0),E(0,0,a),∴
DE
=(0,-2,a),
DC
=(1,-1,
2
)
,
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為
n2
=(x,y,z)
,則有-2y+az=0,x-y+
2
z=0
,
取z=2時(shí),
n2
=(a-2
2
,a,2)
(9分)
又平面AEC的一個(gè)法向量為
n3
=(-1,1,0)
,(10分)
∵二面角A-EC-D的大小為60°,∴
n2
n3
|
n2
||
n3
|
=
1
2
,
a2-2
x
a-2=0
,解得a=
2
±2
(13分)
又a>0,所以a=
2
+2
.(14分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=
2
,AA1=2,如圖,
(1)當(dāng)點(diǎn)P在BB1上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P∈BB1,且異于B,B1)設(shè)PA∩BA1=M,PC∩BC1=N,求證:MN平面ABCD
(2)當(dāng)點(diǎn)P是BB1的中點(diǎn)時(shí),求異面直線PC與AD1所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,E、F分別為PA、BC的中點(diǎn).
求證:EF平面PCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,O為AC和BD的交點(diǎn),過(guò)A、C1、B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后,得到如圖所示的幾何體ABCD-AC1Dl,且這個(gè)幾何體的體積為.
(1)求證:OD1平面BA1C1
(2)求棱A1A的長(zhǎng):
(3)求點(diǎn)D1到平面BA1C1的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DCAB,∠BAD=90°,且AB=2AD=2DC=2PD=4(單位:cm),E為PA的中點(diǎn).
(1)證明:DE平面PBC;
(2)證明:DE⊥平面PAB.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

P是△ABC所在平面外一點(diǎn),A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心,
(1)求證:平面A′B′C′平面ABC;
(2)求SABCS△ABC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱AA1,BB1的中點(diǎn).
(1)求證:平面A1BC1平面ACD1;
(2)求異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知直線l⊥平面α,有以下幾個(gè)判斷:
①若m⊥l,則mα,
②若m⊥α,則ml
③若mα,則m⊥l,
④若ml,則m⊥α,
上述判斷中正確的是( 。
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥側(cè)面BB1C1C,已知BB1=2,AB=
2
,BC=1,∠BCC1=
π
3

(1)求證:C1B⊥平面ABC;
(2)試在棱CC1(不包含端點(diǎn)C,C1)上確定一點(diǎn)E的位置,使得EA⊥EB1

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同步練習(xí)冊(cè)答案