Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，AB=AC，頂點(diǎn)S在底面ABC上的射影是△ABC的重心O，BC=8，AO=2，SA=

13

．
（Ⅰ）求證：SA⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)SO，延長(zhǎng)AO，交BC于D，連結(jié)SD，由等腰三角形和重心性質(zhì)、射影定理得AD⊥BC，SO⊥平面ABC，
由三垂線定理得SD⊥BC，由此能證明SA⊥BC．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸，過(guò)D作OS的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ASC的法向量和平面BSC的法向量，由此能求出二面角A-SC-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)SO，延長(zhǎng)AO，交BC于D，連結(jié)SD，
∵AB=AC，頂點(diǎn)S在底面ABC上的射影是△ABC的重心O，
∴AD⊥BC，SO⊥平面ABC，
由三垂線定理得SD⊥BC，又SD∩AD=D，
∴BC⊥平面ASD，又SA?平面ASD，
∴SA⊥BC．
（Ⅱ）解：以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸，
過(guò)D作OS的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BC=8，AO=2，SA=

13

，
∴OD=1，OS=

13-4

=3，BD=DC=4，
∴A（0，3，0），B（-4，0，0），C（4，0，0），
S（0，1，3），

SC

=（4，-1，-3），

SA

=（0，2，-3），

SB

=（-4，-1，-3），
設(shè)平面ASC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • SC =4x-y-3z=0 n • SA =2y-3z=0

，取y=3，得

n

=（

9

4

，3，2），
設(shè)平面BSC的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • SB =-4a-b-3c=0 m • SC =4a-b-3c=0

，取b=3，得

m

=（0，3，-1），
設(shè)二面角A-SC-B的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

7

289 16 • 10

=

14 10

85

．
∴二面角A-SC-B的余弦值為

14 10

85

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用．