Question

若2＜x＜3，，Q=log₂x，，則P，Q，R的大小關(guān)系是（ ）
A．Q＜P＜R
B．Q＜R＜P
C．P＜R＜Q
D．P＜Q＜R

Answer 1

【答案】分析：利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)可得到＜P＜，Q＞1，R＞，再構(gòu)造函數(shù)x=2^2t，通過(guò)分析y=2t 和 y=2^t的圖象與性質(zhì)，得到結(jié)論．
解答：解：P=在x∈（2，3）上單調(diào)遞減，＜P＜；
Q=log₂x在x∈（2，3）上單調(diào)遞增Q＞1；
R=在x∈（2，3）上單調(diào)遞增，R＞，顯然需要比較的是Q，R的大小關(guān)系．
令x=2^2t，這是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，顯然在x∈（2，3）上x(chóng)與t 一一對(duì)應(yīng)，
則1＜Q=log₂x=2t，R=2^t＜，
∴＜t＜log₂3＜•log₂4=1，在坐標(biāo)系中做出 y=2t 和 y=2^t的圖象，兩曲線分別相交在 t=1 和 t=2 處，
可見(jiàn)，在 t＜1 范圍內(nèi) y=2t 小于 y=2^t，
在 1＜t＜2 范圍內(nèi) y=2t 大于 y=2^t，
在 t＞2 范圍內(nèi) y=2t 小于 y=2^t，
∵＜t＜1，∴2t＜2^t，即 R＞Q；
∴當(dāng)2＜x＜3時(shí)，R＞Q＞P．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)值大小的比較，難點(diǎn)在于Q，R的大小比較，考查構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析解決問(wèn)題，考查學(xué)生綜合分析與解決問(wèn)題的能力，屬于難題．