Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，側(cè)棱長為 1，底面邊長為 2，E是棱BC的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐D₁-DBC的體積；
（2）證明 BD₁∥平面C₁DE；
（3）求面C₁DE與面CDE所成二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）分別求出高DD₁和底面面積S△_BCD，最后由三棱錐的體積公式求其體積．
（2）根據(jù)線面平行的判定理，只要證明EF∥BD₁即可．
（3）先過C作CG⊥DE交DE于G，連接則DE⊥C₁G作出二面角的平面角來，然后在R_t△CDE中，CD=2，CE=1，DE=

5

，求得CG=

2

5

，再由CC₁=1，通過tan∠C₁GC=

|C1C|

|CG|

求解．

解答：解：（1）∵BC=CD=2∴=

1

2

×2×2=2
又∵DD₁=1
∴三棱錐D₁-DBC的體積=

1

3

S△_BCDDD₁=

1

3

×2×1=

2

3

（2分）
（2）設(shè)C₁D∩CD₁=F
連接EF∵E為BC的中點(diǎn)F為CD₁的中點(diǎn)
∴EF是△BCD₁的中位線∴EF∥BD₁（3分）
又BD₁在平面C₁DE外，EF在平面C₁DE內(nèi)
∴BD₁∥平面C₁DE（4分）
（3）過C作CG⊥DE交DE于G，連接
則DE⊥C₁G∴∠C₁GC是二面角C₁-DE-C的一個(gè)平面角（5分）
在R_t△CDE中，CD=2，CE=1，DE=

5

∴CG=

2

5

又∵CC₁=1△CC₁G是直角三角形（6分）
∴tan∠C₁GC=

|C1C|

|CG|

=

1

2 5

=

5

2

（7分）

點(diǎn)評：本題主要考查線面平行的判定定理，三棱錐的體積公式及二面角的幾何求法，一般來講，是一作，二找，三證．