Question

寬為a的走廊與另一走廊垂直相連，如果長為8a的細(xì)桿能水平地通過拐角，則另一走廊的寬度至少是多少？

Answer 1

分析：設(shè)細(xì)桿與另一走廊一邊的夾角為θ(0＜θ＜

π

2

)，根據(jù)圖可知y(θ)=BCsinθ=8asinθ-

asinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)整理可得函數(shù)．“如果長為8a的細(xì)桿能水平地通過拐角，求另一走廊的寬度至少是多少”，關(guān)鍵看函數(shù)y（θ）的最小值，先研究其單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法，先求導(dǎo)，由y'（θ）＞0，y（θ）為增函數(shù)，可知當(dāng) θ=

π

3

時，y（θ）有最小值，即可得到結(jié)論．

解答：解：如圖，設(shè)細(xì)桿與另一走廊一邊的夾角為θ(0＜θ＜

π

2

)，
設(shè)另一走廊的寬為y，∵AB=

a

cosθ

，BC=8a-

a

cosθ

，∴y(θ)=BCsinθ=8asinθ-

asinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)
依題意必存在一個適當(dāng)?shù)?值使y最小．
由y′(θ)=8acosθ-

asin2θ+acos2θ

cos2θ

=8acosθ-

a

cos2θ

令y'=0得cos3θ=

1

8

，得csoθ=

1

2

，θ=

π

3

，
當(dāng)cosθ＜

1

2

時，y'＜0，當(dāng)cosθ＞

1

2

時，y'＞0，
∴當(dāng)cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

時，ymin3

3

a，即另一走廊的寬度至少是3

3

a

點評：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，解答關(guān)鍵是還利用三角函數(shù)的定義求出函數(shù)表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值等．