Question

【題目】設(shè)數(shù)組，，，數(shù)稱為數(shù)組的元素．對于數(shù)組，規(guī)定：

①數(shù)組中所有元素的和為；

②變換，將數(shù)組變換成數(shù)組，其中表示不超過的最大整數(shù)；

③若數(shù)組，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．

如果對數(shù)組中任意個(gè)元素，存在一種分法，可將其分為兩組，每組個(gè)元素，使得兩組所有元素的和相等，則稱數(shù)組具有性質(zhì)．

（Ⅰ）已知數(shù)組，，計(jì)算，，并寫出數(shù)組是否具有性質(zhì)；

（Ⅱ）已知數(shù)組具有性質(zhì)，證明：也具有性質(zhì)；

（Ⅲ）證明：數(shù)組具有性質(zhì)的充要條件是．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數(shù)組是具有性質(zhì)，數(shù)組不具有性質(zhì)．（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，即可容易得，則可判斷；

（Ⅱ）對都為奇數(shù)和都為偶數(shù)，結(jié)合性質(zhì)的定義，即可證明；

（Ⅲ）從充分性和必要性上，結(jié)合（Ⅱ）中所求，即可證明.

（Ⅰ），；

數(shù)組是具有性質(zhì)，數(shù)組不具有性質(zhì)．

（Ⅱ）證明：當(dāng)元素均為奇數(shù)時(shí)，

因?yàn)?/span>，，所以．

對中任意個(gè)元素，不妨設(shè)為．

因?yàn)閿?shù)組具有性質(zhì)，所以對于，

存在一種分法：將其分為兩組，每組個(gè)素，使得各組內(nèi)所有元素之和相等．

如果用替換上述分法中的（），

就可以得到對于的一種分法：

將其分為兩組，每組個(gè)元素，顯然各組內(nèi)所有元素之和相等．

所以此時(shí)也具有性質(zhì)．

當(dāng)元素均為偶數(shù)時(shí)，

因?yàn)?/span>，，所以．

對中任意個(gè)元素，不妨設(shè)為．

因?yàn)閿?shù)組具有性質(zhì)，所以對于，

存在一種分法：將其分為兩組，每組個(gè)元素，使得各組內(nèi)所有元素之和相等．

如果用替換上述分法中的（），

就可以得到對于的一種分法：

將其分為兩組，每組個(gè)元素，顯然各組內(nèi)所有元素之和相等．

所以此時(shí)也具有性質(zhì)．

綜上所述，由數(shù)組具有性質(zhì)可得也具有性質(zhì)．

（Ⅲ）證明：（1）充分性：顯然成立．

（2）必要性：

因?yàn)閿?shù)組具有性質(zhì)，所以對于數(shù)組中任意個(gè)元素，存在一種分法：

將個(gè)元素平均分成2組，并且各組內(nèi)所有元素之和等于同一個(gè)正整數(shù)，

所以均為偶數(shù)，從而元素的奇偶性相同．

由（Ⅱ）可知，如果數(shù)組具有性質(zhì)，

那么仍具有性質(zhì)．

又因?yàn)�，�?dāng)為奇數(shù)時(shí)，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

，

由此得到的充要條件是．

易知，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．

令，，．

假設(shè)對于任意的，有，則，

又，，得，即．

得 ，…，

，

所以，且單調(diào)遞減．

又因?yàn)?/span>，矛盾．

所以存在，有．

又由結(jié)論1，得此時(shí)．

上述過程倒推回去，

因?yàn)閿?shù)組均具有性質(zhì)，即數(shù)組中元素

的奇偶性相同，可得數(shù)組中的所有元素都相同，

所以，數(shù)組中的元素均相同，即．