Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為，側(cè)棱長為4．
（1）求證：平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）求D₁到面AB₁C的距離；
（3）求三棱錐D₁-ACB₁的體積V．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BD⊥AC，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B⇒AC⊥平面BDD₁B₁⇒平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）設(shè)AC、BD交與點(diǎn)O，連接B₁O．點(diǎn)D₁作D₁H⊥B₁O，則D₁H即為所求D₁到面AB₁C的距離；
（3）利用（2）找到的高，再求出底面面積，代入體積計(jì)算公式即可．
解答：（1）證明：∵BD⊥AC，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，
又因?yàn)锳C?平面B₁EF，所以平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）解：連接AC、BD交與點(diǎn)O，連接B₁O．
過點(diǎn)D₁作D₁H⊥B₁O，則D₁H即為所求．
在△B₁D₁O中，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面邊長為，側(cè)棱長為4．
可得D₁O=B₁O===2，B₁D₁=4
∴cos∠D₁B₁O==，
∴==⇒B₁H=⇒．
即D₁到面AB₁C的距離為．
（3）解：．
所以三棱錐D₁-ACB₁的體積為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)以及點(diǎn)到面的距離和三棱錐的體積計(jì)算公式．是對(duì)立體幾何知識(shí)的綜合考查．