Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln|x|，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）若關于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}．
∵f（-x）=（-x）²ln|-x|=x²ln|x|=f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）當x＞0時，f（x）=x²lnx．
∴=2x，
令f^′（x）=0，解得．
若，則f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；
若，則f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．
再由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當x＜0時的單調性如下：
函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是．
綜上可知：函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是，；
單調遞減區(qū)間是，．
（3）由f（x）=kx-1，得，
令g（x）=．
當x＞0時，g^′（x）==，可知g^′（1）=0．
當0＜x＜1時，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減；
當x＞1時，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增．
∴當x＞0時，g（x）_min=g（1）=1．
因此關于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有實數(shù)解的k的取值范圍是[1，+∞）．
分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷出；
（2）先對x＞0時利用導數(shù)得出單調性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以得出x＜0時的單調性；
（3）通過分離參數(shù)k，利用導數(shù)即可求出此時函數(shù)的極值即最值，從而可得出k的取值范圍．
點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及分離參數(shù)法是解題的關鍵．