【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)═log2( +a).
(1)若f(1)<2,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5],討論函數(shù)g(x)的零點個數(shù).
【答案】
(1)解:若f(1)<2,
則log2(1+a)<2,
即0<1+a<4,
解得:a∈(﹣1,3)
(2)解:令函數(shù)g(x)=f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0,
則f(x)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],
即 +a=(a﹣4)x+2a﹣5,
即(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,
① 當(dāng)a=4時,方程可化為:﹣x﹣1=0,解得:x=﹣1,
此時 +a=(a﹣4)x+2a﹣5=3,滿足條件,
即a=4時函數(shù)g(x)有一個零點;
②當(dāng)(a﹣5)2+4(a﹣4)=0時,a=3,方程可化為:﹣x2﹣2x﹣1=0,
此時 +a=(a﹣4)x+2a﹣5=2,滿足條件,
即a=3時函數(shù)g(x)有一個零點;
③當(dāng)(a﹣5)2+4(a﹣4)>0時,a≠3,
方程有兩個根,x=﹣1,或x= ,
當(dāng)x=﹣1時, +a=(a﹣4)x+2a﹣5=a﹣1,當(dāng)a>1時,滿足條件,
當(dāng)x= 時, +a=(a﹣4)x+2a﹣5= ,當(dāng)a 時,滿足條件,
a≤ 時,函數(shù)g(x)無零點;
<a≤1時,函數(shù)g(x)有一個零點;
a>1且a≠3且a≠4時函數(shù)g(x)有兩個零點
【解析】(1)若f(1)<2,則log2(1+a)<2,即0<1+a<4,解得實數(shù)a的取值范圍;(2)令函數(shù)g(x)=f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0,即 +a=(a﹣4)x+2a﹣5,即(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,分類討論方程根的個數(shù),可得不同情況下函數(shù)g(x)的零點個數(shù).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分別是BC1 , CD1的中點,則下列說法錯誤的是( )
A.MN與CC1垂直
B.MN與AC垂直
C.MN與BD平行
D.MN與A1B1平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,﹣sin ),函數(shù)f(x)= ﹣m| + |+1,x∈[﹣ , ],m∈R.
(1)當(dāng)m=0時,求f( )的值;
(2)若f(x)的最小值為﹣1,求實數(shù)m的值;
(3)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f(x)+ m2 , x∈[﹣ , ]有四個不同的零點?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且.
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)有最值,寫出的取值范圍.(只需寫出結(jié)論)
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【題目】2016年9月,第22屆魯臺經(jīng)貿(mào)洽談會在濰坊魯臺會展中心舉行,在會展期間某展銷商銷售一種商品,根據(jù)市場調(diào)查,每件商品售價x(元)與銷量t(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,又知供貨價格與銷量呈反比,比例系數(shù)為20.(注:每件產(chǎn)品利潤=售價﹣供貨價格)
(1)求售價15元時的銷量及此時的供貨價格;
(2)當(dāng)銷售價格為多少時總利潤最大,并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解心肺疾病是否與年齡相關(guān),現(xiàn)隨機抽取80名市民,得到數(shù)據(jù)如下表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計 | |
大于40歲 | 16 | ||
小于或等于40歲 | 12 | ||
合計 | 80 |
已知在全部的80人中隨機抽取1人,抽到不患心肺疾病的概率為
下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
(1)請將2×2列聯(lián)表補充完整;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù) ,x∈R的圖象,只需把函數(shù)y=2sinx,x∈R的圖象上所有的點( )
A.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍縱坐標(biāo)不變)
B.向右平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變)
C.向左平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)
D.向右平移 個單位長度,再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若存在,使得(是自然對數(shù)的底數(shù)),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=( + )x3(a>0,a≠1).
(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)求a的取值范圍,使f(x)+f(2x)>0在其定義域上恒成立.
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