【題目】已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an= ,n=2,3,4,….
(1)求a2 , a3 , a4 , a5的值;
(2)設bn= +1,n∈N*,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出其通項公式;
(3)對任意的m≥2,m∈N*,在數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)的2m項構成等差數(shù)列?若存在,寫出這2m項,并證明這2m項構成等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵a1=1,∴a2=1+2a1=3,

a3= +2a2= ,

a4=1+2a3=7,

a5= +2a4=


(2)解:由題意,對于任意的正整數(shù)n,bn= +1,

∴bn+1= +1,

又∵ +1=(2 +1)+1=2( +1)=2bn

∴bn+1=2bn,

又∵b1= +1=a1+1=2,

∴數(shù)列{bn}是首項、公比均為2的等比數(shù)列,其通項公式bn=2n


(3)解:對任意的m≥2,m∈N*,在數(shù)列{an}中存在連續(xù)的2m項構成等差數(shù)列.

對任意的m≥2,k∈N*,在數(shù)列{an}中, , ,…, 這連續(xù)的2m就構成一個等差數(shù)列.

我們先來證明:“對任意的n≥2,n∈N*,k∈(0,2n1),k∈N*,有 ”,

由(2)得 ,∴ ,

當k為奇數(shù)時, = ,

當k為偶數(shù)時, =1+2a ,

,∴要證 = ,只需證明 ,

其中 ,k1∈N*,

(這是因為若 ,則當 時,則k一定是奇數(shù))

=

= = ,

時,則k一定是偶數(shù),

=1+

=1+2( )=1+2( )=

以此遞推,要證 = ,只要證明 ,

其中 ,k2∈N*,

如此遞推下去,我們只需證明 , ,

,即

由(Ⅱ)可得,所以對n≥2,n∈N*,k∈(0,2n1),k∈N*,

,

對任意的m≥2,m∈N*,

= ,其中i∈(0,2m﹣1),i∈N*,

=﹣ ,

,

,

, ,…, 這連續(xù)的2m項,是首項為 ,公差為﹣ 的等差數(shù)列


【解析】(1)由a1=1,利用遞推公式能求出a2 , a3 , a4 , a5的值.(2)由題意,對于任意的正整數(shù)n,bn= +1,從而bn+1= +1,進而bn+1=2bn , 由此能證明數(shù)列{bn}是首項、公比均為2的等比數(shù)列,并求出其通項公式.(3)對任意的m≥2,m∈N*,在數(shù)列{an}中存在連續(xù)的2m項構成等差數(shù)列.對任意的m≥2,k∈N* , 在數(shù)列{an}中, , ,…, 這連續(xù)的2m就構成一個等差數(shù)列.利用構造法和分類討論法能推導出 , ,…, 這連續(xù)的2m項,是首項為 ,公差為﹣ 的等差數(shù)列.
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的相關知識點,需要掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.

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