Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

1

2

，一個頂點的坐標為(0，

3

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左焦點為F，右頂點為A，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M，N兩點且

AM

•

AN

=0，試問：是否存在實數(shù)λ，使得S_△FMN=λS_△AMN成立，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵e=

c

a

=

1

2

，b=

3

，
∴a²-c²=3，解得：a=2．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．------------------（5分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，
∴3+4k²-m²＞0．
⇒x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1•x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
∵A（2，0），
∴

AM

•

AN

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，
∴7m²+16mk+4k²=0，解得m1=-2k，m2=-

2k

7

，且滿足3+4k²-m²＞0．
當m=-2k時，l：y=k（x-2），直線過定點（2，0），與已知矛盾；
當m=-

2k

7

時，l：y=k(x-

2

7

)，直線過定點P(

2

7

，0)．
綜上可知，直線l過定點，定點坐標為P(

2

7

，0)．
F（-1，0），S_△FMN：S_△AMN=|PF|：|AP|=3：4.S△FMN=

3

4

S△AMN．
∴存在λ=

3

4

，使得S△FMN=

3

4

S△AMN．------------------（12分）