已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=
1
2
,一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,
3
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)且
AM
AN
=0
,試問:是否存在實(shí)數(shù)λ,使得S△FMN=λS△AMN成立,若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,
e=
c
a
=
1
2
,b=
3
,
∴a2-c2=3,解得:a=2.
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.------------------(5分)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,
∴3+4k2-m2>0.
x1+x2=-
8mk
3+4k2
,x1x2=
4(m2-3)
3+4k2

y1y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
3(m2-4k2)
3+4k2

∵A(2,0),
AM
AN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0
,
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
3(m2-4k2)
3+4k2
+
4(m2-3)
3+4k2
+
16mk
3+4k2
+4=0
,
∴7m2+16mk+4k2=0,解得m1=-2k,m2=-
2k
7
,且滿足3+4k2-m2>0.
當(dāng)m=-2k時(shí),l:y=k(x-2),直線過定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;
當(dāng)m=-
2k
7
時(shí),l:y=k(x-
2
7
)
,直線過定點(diǎn)P(
2
7
,0)

綜上可知,直線l過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為P(
2
7
,0)

F(-1,0),S△FMN:S△AMN=|PF|:|AP|=3:4.S△FMN=
3
4
S△AMN

∴存在λ=
3
4
,使得S△FMN=
3
4
S△AMN
.------------------(12分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,橢圓C上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn),點(diǎn)P,Q是橢圓上;異于點(diǎn)B的兩點(diǎn),且PB⊥QB,求證直線PQ經(jīng)過y軸上一定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,-1),且右焦點(diǎn)Q到直線x-y+2
2
=0的距離為3.
(1)求橢圓方程;
(2)試問是否存在斜率為k(k≠0)的直線l,使l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B、C,且|AB|=|AC|?若存在,求出k的范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)d的離心率為
2
2
,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(
2
+1
).一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在常熟λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
4
+y2=1
,過點(diǎn)M(-1,0)作直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求AB中點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求△OAB面積的最大值,并求此時(shí)直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知橢圓
x2
3
+
y2
2
=1
,F(xiàn)是右焦點(diǎn),若直線L過F與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且
AF
=2
FB
,則直線L的方程為:______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C的方程為x2=2py(p>0),焦點(diǎn)F為(0,1),點(diǎn)P(x1,y1)是拋物線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線的切線交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)A(s,t).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若x1∈[1,4],求s的取值范圍.
(3)過點(diǎn)A作拋物線C的另一條切線AQ,其中Q(x2,y2)為切點(diǎn),試問直線PQ是否恒過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)點(diǎn)F(0,
3
2
)
,動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線y=-
3
2
相切.記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W.
(Ⅰ)求曲線W的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F作互相垂直的直線l1,l2,分別交曲線W于A,B和C,D.求四邊形ACBD面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過點(diǎn)P(-3,0)且傾斜角為30°直線和曲線
x=t+
1
t
y=t-
1
t
(t為參數(shù))相交于A、B兩點(diǎn).則線段AB的長(zhǎng)為(  )
A.
4
3
51
B.
17
C.
51
D.2
17

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同步練習(xí)冊(cè)答案