Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長和側(cè)棱長均為1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，O₁為A₁C₁中點．
（1）求證：AO₁∥平面C₁BD；
（2）求證：平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．

Answer 1

分析：（1）要證線面平行，只需證此直線平行于平面內(nèi)的任一條直線即可；
（2）要證平面ACC₁A₁⊥平面ABCD，只需證平面ABCD內(nèi)的一條直線BD與面ACC₁A₁的兩條相交直線垂直即可．

解答：證明：（1）連接AC、BD交于O點，連接C₁O．…（2分）
∵C₁C∥A₁A，∴四邊形ACC₁A₁為平行四邊形．
又O₁，O分別為A₁C₁，AC的中點，∴C₁O∥AO₁．…（4分）
∵C₁O?平面C₁BD，AO₁?平面C₁BD，∴AO₁∥平面C₁BD．…（7分）
（2）連接A₁B，A₁D，A₁O．
∵A₁A=AB=AD，又∠A₁AB=∠A₁AD，△A₁AB≌△A₁AD
∴A₁B=A₁D．∵O為BD中點，∴BD⊥A₁O．…（9分）
又底面ABCD為菱形，∴BD⊥AC…（12分）
∵AC∩A₁O=O．∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面ABCD∴平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．…（14分）

點評：本題考查的知識點是線面平行與面面垂直，常用的處理方法是用它們的判定定理，此類題目為立體幾何中的�？急乜碱}，一定要切實掌握好．