Question

如圖，在直棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝BC＝AA₁，∠ACB＝90o，G為BB₁的中點．

(1)求證：平面A₁CG⊥平面A₁GC₁；

(2)求平面ABC與平面A₁GC所成銳二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在直棱柱ABC－A1B1C1中，有A1C1⊥CC1． 　　∵∠ACB＝90o，∴A1C1⊥C1B1，即A1C1⊥平面C1CBB1， 　　∵CG平面C1CBB1，∴A1C1⊥CG．　　2分 　　在矩形C1CBB1中，CC1＝BB1＝2BC，G為BB1的中點， 　　CG＝BC，C1G＝BC，CC1＝2BC 　　∴∠CGC1＝90，即CG⊥C1G　　4分 　　而A1C1∩C1G＝C1， 　　∴CG⊥平面A1GC1． 　　∴平面A1CG⊥平面A1GC1．　　6分 　　(2)由于CC1平面ABC， 　　∠ACB＝90o，建立如圖所示的空間坐標系，設AC＝BC＝CC1＝a， 　　則A(a，0，0)，B(0，a，0) 　　A1(a，0，2a)，G(0，a，a)． 　　∴＝(a，0，2a)，＝(0，a，a)．　　8分 　　設平面A1CG的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 　　由得 　　令z1＝1，n1＝(－2，－1，1)．　　9分 　　又平面ABC的法向量為n2＝(0，0，1)　　10分 　　設平面ABC與平面A1CG所成銳二面角的平面角為， 　　則　　11分 　　即平面ABC與平面A1CG所成銳二面角的平面角的余弦值為．　　12分