(1)一個半徑為r的扇形,若它的周長等于弧所在的半圓的長,那么扇形的圓心角是多少弧度?是多少度?扇形的面積是多少?
(2)一扇形的周長為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角α等于多少弧度時,這個扇形的面積最大?

解:(1)設(shè)扇形的圓心角是θrad,因為扇形的弧長是rθ,
所以扇形的周長是2r+rθ.依題意,得2r+rθ=πr,
∴θ=π-2=(π-2)×≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,
∴扇形的面積為S=r2θ=(π-2)r2
(2)設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l,則l+2r=20,
即l=20-2r(0<r<10)①
扇形的面積S=lr,將①代入,得S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,
所以當(dāng)且僅當(dāng)r=5時,S有最大值25.此時
l=20-2×5=10,α==2.所以當(dāng)α=2rad時,扇形的面積取最大值.
分析:(1)設(shè)扇形的圓心角,利用弧長公式得到弧長,代入題中條件,求出圓心角的弧度數(shù),再化為度數(shù),利用扇形的面積公式求扇形的面積.
(2)設(shè)出弧長和半徑,由周長得到弧長和半徑的關(guān)系,再把弧長和半徑的關(guān)系代入扇形的面積公式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑的二次函數(shù),配方求出面積的最大值.
點(diǎn)評:本題考查角的弧度數(shù)與度數(shù)間的轉(zhuǎn)化,扇形的弧長公式和面積公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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