Question

設函數f（x）=log₂

1-x

1+x

．①討論該函數的奇偶性．②判斷函數的單調性并加以證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數的奇偶性的定義和單調性的定義進行判斷和證明即可．

解答： 解：①要使函數有意義，則

1-x

1+x

＞0．解得-1＜x＜1，
∵f（x）=log₂

1-x

1+x

．
∴f（x）+f（-x）=log₂

1-x

1+x

+log₂

1+x

1-x

=log₂（

1-x

1+x

．

1-x

1+x

）=log₂1=0．
則f（-x）=-f（x），則函數f（x）是奇函數．
②函數的定義域為（-1，1），設-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=log₂

1-x1

1+x1

-log₂

1-x2

1+x2

=log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

），
∵

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

-1=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，
∴

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

＞1，
即log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

）＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
故函數在（-1，1）上單調遞減．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，根據函數奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．