Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n•3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a_n=2n，知b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，所以S_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2（n-1）×3^n-1+2n×3ⁿ，再由錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）∵a_n=2n，
∴b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，
∴S_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2（n-1）×3^n-1+2n×3ⁿ，①
3S_n=2×3²+4×3³+6×3⁴+…+2（n-1）×3ⁿ+2n×3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2S_n=6+2×3²+2×3³+2×3⁴+…+2×3ⁿ-2n×3ⁿ⁺¹
=2×

3(1-3n)

1-3

-2n×3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-2n×3ⁿ⁺¹-3
=（1-2n）×3ⁿ⁺¹-3
∴S_n=

2n-1

2

×3n+1+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和．