Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若它的值域是D的子集，則稱f（x）在D上封閉．
（Ⅰ）試判斷f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封閉；
（Ⅱ）設(shè)f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），若f_n（x）（n∈N^*）的定義域均為D，求證：f_n（x）在D上封閉的充分必要條件是f₁（x）在D上封閉；
（Ⅲ）若a＞0，求證：h（x）=

2

2

（|xsinx|+|xcosx|）在[0，a]上封閉，并指出值域?yàn)閇0，a]時(shí)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)封閉的定義封閉求出兩個(gè)函數(shù)的值域即可判斷f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封閉；
（Ⅱ）根據(jù)封閉的定義，即可證明f_n（x）在D上封閉的充分條件是f₁（x）在D上封閉，利用反證法即可證明f_n（x）在D上封閉的必要條件是f₁（x）在D上封閉；
（Ⅲ）求出|sinx|+|cosx|的取值范圍為[1，

2

]，由0≤x≤a，推出0≤h（x）≤a，即封閉，由|sina|+|cosa|=

2

，推出a=

π

4

+kπ（k∈N）．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2^x∈（2，+∞），f（x）在（1，+∞）上封閉，
g（x）=log₂x∈（0，+∞），g（x）在（1，+∞）上不封閉；
（Ⅱ）證明：設(shè)f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），
先證：f_n（x）在D上封閉的充分條件是f₁（x）在D上封閉，
任取x∈D，∵f₁（x）在D上封閉，∴f₂（x）=f（f₁（x））∈D，…，f_n（x）=f（f_n-1（x）））∈D，
∴f_n（x）在D上封閉的充分條件是f₁（x）在D上封閉；
再證：f_n（x）在D上封閉的必要條件是f₁（x）在D上封閉．
考慮運(yùn)用反證法，假設(shè)f₁（x）在D上不封閉，即存在x₀∈D，使得f（x₀）∉D，
那么f₂（x₀）=f（f₁（x₀））無意義，這與f_n（x）（n∈N^*）的定義域均為D矛盾，故假設(shè)不成立，
即f₁（x）在D上封閉是f_n（x）在D上封閉的必要條件．
故f_n（x）在D上封閉的充分必要條件是f₁（x）在D上封閉；
（Ⅲ）證明：∵a＞0，0≤x≤a，
∴h（x）=

2

2

（|xsinx|+|xcosx|）=

2

2

x（|sinx|+|cosx|），
∵|sinx|+|cosx|=

sin2x+cos2x+|sin2x|

=

1+|sin2x|

∈[1，

2

]，
∴0≤h（x）≤

2

2

•a•

2

=a，
∴h（x）在[0，a]上封閉；
若值域?yàn)閇0，a]，由上面可知，|sinx|+|cosx|=

2

，
則h（x）≤

2

2

•x•

2

=x≤a，
即|sina|+|cosa|=

2

，
∴a=

π

4

+kπ（k∈N）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值域的求法，以及與函數(shù)有關(guān)的新定義，利用反證法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)