Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形均為全等的直角梯形，且，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：本題考查線(xiàn)面平行的判定以及二面角的求法.線(xiàn)面平行的判斷：①判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；②性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行于另一個(gè)平面；③性質(zhì)：如果兩條平行線(xiàn)中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面或在這個(gè)平面內(nèi)；④性質(zhì)：如果一條直線(xiàn)平行于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線(xiàn)也平行于另一個(gè)平面或在這個(gè)平面內(nèi)；⑤性質(zhì)：如果一個(gè)平面和平面外的一條直線(xiàn)都垂直于同一平面，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.第一問(wèn)是利用線(xiàn)面平行的判定定理證明；第二問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵，利用向量法得到平面的一個(gè)法向量為，和平面的一個(gè)法向量為，再利用夾角公式求夾角的余弦，但是需判斷夾角是銳角還是鈍角，進(jìn)一步判斷余弦值的正負(fù).

試題解析：（Ⅰ）連結(jié)，由題意，可知，

故四邊形是平行四邊形，所以．

又平面，平面，

所以平面．                                    5分

 

（Ⅱ）由題意，兩兩垂直，

以為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，，

又，，

所以，取．

同理，得平面的一個(gè)法向量為．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103123195729582966/SYS201310312320472086731756_DA.files/image034.png">，又二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值．                     12分

考點(diǎn)：1.線(xiàn)面平行的判斷定理；2.向量法解題.