Question

設(shè)動點P（x，y）（y≥0）到定點F（0，1）的距離比它到x軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若圓心在曲線C上的動圓M過點A（0，2），試證明圓M與x軸必相交，且截x軸所得的弦長為定值．

Answer 1

解：（1）依題意知，動點P到定點F（0，1）的距離等于P到直線y=-1的距離，
曲線C是以原點為頂點，F(xiàn)（0，1）為焦點的拋物線
∵=1，∴p=2，
∴曲線C方程是x²=4y …（5分）
（2）設(shè)圓心為M（a，b），
∵圓M過A（0，2），
∴圓的方程為 （x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
∵點M（a，b）在拋物線x²=4y上，
∴a²=4b，
∴△=4a²-16b+16＞0
∴圓M與x軸必相交 …（9分）
設(shè)圓M與x軸的兩交點分別為E（x₁，0），G（x₂，0）
∵x₁+x₂=2a，x₁x₂=4b-4
∴|EG|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4a²-16b+16=16
∴|EG|=4
∴當M運動時，弦長|EG|為定值4 …（13分）
分析：（1）由題意知，P的軌跡滿足拋物線的定義，故可求出拋物線的焦點，繼而求出拋物線方程．
（2）待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，設(shè)出圓與x軸的兩個焦點E，G的坐標，再根據(jù)圓心在拋物線上，將圓心坐標代入拋物線，利用弦長公式及韋達定理可求結(jié)論．
點評：本題考查圓與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，考查了圓的定義，拋物線的定義，以及點的軌跡方程的求法，考查運算求解能力，中等題．