Question

（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角

形，與的交點為，為側(cè)棱上一點.

（Ⅰ）當為側(cè)棱的中點時，求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）當二面角的大小為時，

試判斷點在上的位置，并說明理由.

Answer 1

（本小題滿分14分）

解法一：

證明：（Ⅰ）連接，由條件可得∥.

        因為平面，平面，

        所以∥平面.   …………4分

（Ⅱ）由已知可得，,是中點，

所以，

又因為四邊形是正方形，所以.

因為，所以.

又因為，所以平面平面.           …………8分

（Ⅲ）解：連接，由（Ⅱ）知.

而, 所以.

又.

所以是二面角的平面角，即.

設(shè)四棱錐的底面邊長為2，

在中，, ,  所以,

又因為, ,

所以是等腰直角三角形.

由可知，點是的中點. …………14分

解法二：（Ⅰ）同解法一      …………4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，.

建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)四棱錐的底面邊長為2，

則，，，，，

.

所以，.

設(shè)（），由已知可求得.

所以，.

設(shè)平面法向量為，

則 即  

令，得. 

易知是平面的法向量.

因為，

所以，所以平面平面.                   …………8分

（Ⅲ）解：設(shè)（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量為.

因為，

所以是平面的一個法向量.

由已知二面角的大小為.

所以，

所以，解得.

所以點是的中點.                                     …………14分