【題目】已知A是橢圓E: =1的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E與A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA.
(1)當(dāng)|AM|=|AN|時,求△AMN的面積
(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時,證明: <k<2.
【答案】
(1)
由橢圓E的方程: =1知,其左頂點A(﹣2,0),
∵|AM|=|AN|,且MA⊥NA,∴△AMN為等腰直角三角形,
∴MN⊥x軸,設(shè)M的縱坐標(biāo)為a,則M(a﹣2,a),
∵點M在E上,∴3(a﹣2)2+4a2=12,整理得:7a2﹣12a=0,∴a= 或a=0(舍),
∴S△AMN= a×2a=a2=
(2)
設(shè)直線lAM的方程為:y=k(x+2),直線lAN的方程為:y=﹣ (x+2),由 消去y得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,∴xM﹣2=﹣ ,∴xM=2﹣ = ,
∴|AM|= |xM﹣(﹣2)|= =
∵k>0,
∴|AN|= = ,
又∵2|AM|=|AN|,∴ = ,
整理得:4k3﹣6k2+3k﹣8=0,
設(shè)f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8,
則f′(k)=12k2﹣12k+3=3(2k﹣1)2≥0,
∴f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8為(0,+∞)的增函數(shù),
又f( )=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ﹣ <0,f(2)=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6>0,
∴ <k<2.
【解析】(1)依題意知橢圓E的左頂點A(﹣2,0),由|AM|=|AN|,且MA⊥NA,可知△AMN為等腰直角三角形,設(shè)M(a﹣2,a),利用點M在E上,可得3(a﹣2)2+4a2=12,解得:a= ,從而可求△AMN的面積;(II)設(shè)直線lAM的方程為:y=k(x+2),直線lAN的方程為:y=﹣ (x+2),聯(lián)立 消去y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,利用韋達定理及弦長公式可分別求得|AM|= |xM﹣(﹣2)|= ,|AN|= = , 結(jié)合2|AM|=|AN|,可得 = ,整理后,構(gòu)造函數(shù)f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8,利用導(dǎo)數(shù)法可判斷其單調(diào)性,再結(jié)合零點存在定理即可證得結(jié)論成立.;本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題,常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系,通過這兩個關(guān)系的變形去求解,考查構(gòu)造函數(shù)思想與導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性,再結(jié)合零點存在定理確定參數(shù)范圍,是難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定下列四個命題:
若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行;
若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直;
垂直于同一直線的兩條直線相互平行;
若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.
其中,為真命題的是
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
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【題目】橢圓離心率為,,是橢圓的左、右焦點,以為圓心,為半徑的圓和以為圓心、為半徑的圓的交點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的下頂點為,直線與橢圓交于兩個不同的點,是否存在實數(shù)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代有計算多項式值的秦九韶算法,如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=( 。
A.7
B.12
C.17
D.34
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【題目】正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB中點,F為CD1中點.
(1)求證:EF∥平面ADD1A1;
(2)求直線EF和平面CDD1C1所成角的正弦值.
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【題目】已知拋物線關(guān)于軸對稱,頂點在坐標(biāo)原點,直線經(jīng)過拋物線的焦點.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線與拋物線相交于不同的兩點, ,且滿足,證明直線過軸上一定點,并求出點的坐標(biāo).
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【題目】已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù),f(-1)=3,且當(dāng)x≥0時,f(x)=2x+x+c(c是常數(shù)),則不等式f(x-1)<6的解集是( )
A. B. C. D.
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【題目】某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖:
以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;
(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個?
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