Question

18．在數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用2S_n=n²+n，能求出a_n．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n的取值范圍．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=n²+n．
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{{1}^{2}+1}{2}$=1，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}-\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，
n=1時(shí)，成立，∴a_n=n．
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．
∵$\frac{2+n}{{2}^{n}}$隨n的增大而減小，∴（T_n）_min=T₁=2-$\frac{2+1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴T_n的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，2）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．