Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-p（x-1），p∈R．
（1）當(dāng)p=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=xf（x）+p（2x²-x-1）（x≥1），求證：當(dāng)p≤-

1

2

時(shí)，有g(shù)（x）≤0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x≥1，g（x）≤0恒成立，等價(jià)于xlnx+p（x²-1）≤0，設(shè)g（x）=xlnx+p（x²-1），由于g（1）=0，故只須g（x）=xlnx+p（x²-1）在x≥1時(shí)是減函數(shù)，再分離參數(shù)p，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）=ln x-（x-1），f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）=0，∴x=1，∵x∈（0，+∞）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）由題意函數(shù)g（x）=xf（x）+p（2x²-x-1）=xlnx+p（x²-1），
則xlnx+p（x²-1）≤0，
設(shè)g（x）=xlnx+p（x²-1），由于g（1）=0，
故只須g（x）=xlnx+p（x²-1）在x≥1時(shí)是減函數(shù)即可，
又因?yàn)間′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1時(shí)恒成立，
即p≤-

lnx+1

2x

在x≥1時(shí)恒成立，
∵(-

lnx+1

2x

)′=

lnx

2x

=0時(shí)，x=1．
∴x=1時(shí)，-

lnx+1

2x

能取到最小值-

1

2

，
∴當(dāng)p≤-

1

2

時(shí)，有g(shù)（x）≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查了函數(shù)最值的運(yùn)用，有一定的綜合性．