Question

已知中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)（0，），離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂．
（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)M在橢圓上，求△MF₁F₂面積的最大值；
（3）試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P，使，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由已知得，．（2分）
則，∴．解得a²=6（4分）
∴所求橢圓方程為（5分）

（2）令M（x₁，y₁），則（7分）
∵點(diǎn)M在橢圓上，∴，故|y₁|的最大值為（8分）
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．（9分）

（3）假設(shè)存在一點(diǎn)P，使，
∵，∴，（10分）
∴△PF₁F₂為直角三角形，∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4 ①（11分）
又∵ ②（12分）
∴②²-①，得2|PF₁|•|PF₂|=20，∴，（13分）
即=5，由（1）得最大值為，故矛盾，
∴不存在一點(diǎn)P，使．（14分）
分析：（1）由題意設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和離心率得，根據(jù)a²=b²+c²求出a的值，即求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)（1）求出的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，求出點(diǎn)M縱坐標(biāo)的范圍，即求出三角形面積的最大值；
（3）先假設(shè)存在點(diǎn)P滿足條件，根據(jù)向量的數(shù)量積得，根據(jù)橢圓的焦距和橢圓的定義列出兩個(gè)方程，求出的值，結(jié)合（2）中三角形面積的最大值，判斷出是否存在點(diǎn)P．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質(zhì)、向量數(shù)量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍求出相應(yīng)三角形的面積最值，即根據(jù)此范圍判斷點(diǎn)P是否存在，此題綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)多，考查了分析問題和解決問題的能力．