Question

如圖，在棱長均為4的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、D₁分別是BC和B₁C₁的中點，
(1)求證：A₁D₁∥平面AB₁D；
(2)若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∠B₁BC=60°，求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

(1)證明：如圖，連接DD1，在三棱柱ABC-A1B1C1中， 因為D、D1分別是BC、B1C1的中點， 所以B1D1∥BD，且B1D1=BD， 所以四邊形B1BDD1為平行四邊形， 所以BB1∥DD1，且BB1=DD1， 又因為AA1∥BB1，AA1=BB1， 所以AA1∥DD1，AA1=DD1， 所以四邊形AA1D1D為平行四邊形， 所以A1D1∥AD， 又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D， 故A1D1∥平面AB1D。 (2)解：在△ABC中，因為AB=AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC． 因為平面ABC⊥平面B1C1CB，交線為BC，AD平面ABC， 所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱錐A-B1BC的高， 在△ABC中，由AB=AC=BC=4得， 在△B1BC中，B1B=BC=4．∠B1BC=60°， 所以△B1BC的面積， 所以三棱錐B1-ABC的體積，即三棱錐A-B1BC的體積 。