Question

對于任意的x∈R，不等式2x2-a

x2+1

+3＞0恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A．a＜2

  2

• B．a≤2

  2

• C．a＜3
• D．a≤3

Answer 1

分析：原不等式分離出參數a：a＜

2x2+3

x2+1

，轉化為a只須小于函數的最小值即可，下面只要利用函數的單調性求出最小值，即可求出a的范圍．

解答：解：先從 2x2-a

x2+1

+3＞0分離出參數a，
即 a＜

2x2+3

x2+1

恒成立，
下面只要求 y=

2x2+3

x2+1

的最小值即可，
令

x2+1

=t（t≥1）則x²=t²-1，
∴y=

2t2+1

t

=2t+

1

t

，
∵y=2t+

1

t

在[1，+∞）單調增函數，
∴當t=1時，y有最小值3，
故a＜3，
故答案為：a＜3．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數恒成立問題、二次函數的性質、換元法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．