已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線.證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.
（Ⅰ）（Ⅱ）直線恒過定點

試題分析：(Ⅰ)點在橢圓上，將其代入橢圓方程，又因為，且，解方程組可得。（Ⅱ）點在直線上，則可得。當直線的斜率存在時設(shè)斜率為，得到直線方程，聯(lián)立方程消掉得關(guān)于的一元二次方程。再根據(jù)韋達定理可得根與系數(shù)的關(guān)系。因為為中點，根據(jù)點的橫坐標解得。因為故可得直線的斜率，及其含參數(shù)的方程。分析可得直線是否恒過定點。注意還要再討論當直線的斜率不存在的情況。
試題解析：解：（Ⅰ）因為點在橢圓上，所以，
所以，                   1分
因為橢圓的離心率為，所以，即，    2分
解得，              4分
所以橢圓的方程為.                        5分
（Ⅱ）設(shè)，，
①當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，
由得， 7分
所以，                             8分
因為為中點，所以，即.
所以，                              9分
因為直線，所以，
所以直線的方程為，即 ，
顯然直線恒過定點.                           11分
②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線為軸，也過點.                     13分
綜上所述直線恒過定點.                       14分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知點和，過點的直線與過點的直線相交于點，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，如果，求點的軌跡；
（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在中，的外角平分線與邊的延長線相交于點，則.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且△的面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，直線與直線的交點為，證明：點總在直線上.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓（a>b>0）的離心率為，右焦點為（，0）．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點且斜率為k的直線與橢圓交于點A（xl，y1）,B（x2，y2），若， 求斜率k是的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點,試問：在y軸正半軸上是否存在一個定點M滿足,若存在,求出點M的坐標；若不存在,請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓錐曲線的兩個焦點坐標是，且離心率為；
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點，求的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果，且曲線上存在點，使，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)雙曲線的虛軸長為２，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為(    )
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

曲線是平面內(nèi)與定點和定直線的距離的積等于的點的軌跡.給出下列四個結(jié)論：
①曲線過坐標原點；
②曲線關(guān)于軸對稱；
③曲線與軸有個交點；
④若點在曲線上，則的最小值為.
其中，所有正確結(jié)論的序號是___________．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案