Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù)．

（1）證明：；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列？并說明理由．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2），理由詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）欲證，由條件，考慮到，因此可以利用，，兩式相減，即可消去得到，再由，即可得到；（2）由，，可得，再由（1）可知，故若數(shù)列為等差數(shù)列，則有，解得，接下來只需證明當(dāng)時(shí)，數(shù)列確實(shí)為等差數(shù)列，結(jié)合（1）首先對的奇偶性進(jìn)行分類討論：由（1）可得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，而是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，因此，，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

試題解析：（1）由題設(shè)，，， 2分

兩式相減，得， 3分

∵，∴； 4分

（2）由題設(shè)，，，可得， 5分

由（1）知，，若數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得， 6分

故，由此可得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，， 7分

是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，， 8分

∴，， 10分

因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列． 12分

考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式；2．等差數(shù)列的證明．