Question

在二項式的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．
（1）求展開式的第四項；
（2）求展開式的常數(shù)項；
（3）求展開式中各項的系數(shù)和；
（4）求展開式的有理項．

Answer 1

【答案】分析：觀察題設(shè)及四個問題，知本題是考查二項式系數(shù)的性質(zhì)與等差數(shù)列性質(zhì)的題，由前三項系數(shù)成等差數(shù)列建立方程求出n，
（1）由二項展開式的項的公式求出第四項；
（2）由二項展開式的項的公式，令x的指數(shù)為0即可求出常數(shù)項；
（3）可令二項式中的變量為1，計算可得二項式各項的系數(shù)和；
（4）令二項展開式中x的指數(shù)為整數(shù)即可求出所有的有理項．
解答：解：因為第一、二、三項系數(shù)的絕對值分別為C_n，，
∴
∴n²-9n+8=0
解得n=8．
（1）第四項 =-7
（2）通項公式為 ，
令 ，得r=4
所以展開式中的常數(shù)項為
（3）令二項式中的x=1，則有展開式中各項的系數(shù)和為=…（10分）
（4）通項公式為 ，考察x的指數(shù)知，r=1，4，7時，x的指數(shù)為整數(shù)，即：
T₂=-4x²，，此三項為展開式中的有理項…（14分）
點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項式定理及二項項的展開式，二項式系數(shù)的性質(zhì)本題屬于公式運用型，考查了推理判斷的能力及計算能力