Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)．若此雙曲線上存在點(diǎn)P滿足|PF₁|=3|PF₂|，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：可設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），由于雙曲線上存在點(diǎn)P滿足|PF₁|=3|PF₂|，則P在右支上，且|PF₂|≥c-a，再由雙曲線的定義，結(jié)合條件，可得|PF₂|=a，再由離心率公式，即可求得范圍．

解答： 解：可設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由于雙曲線上存在點(diǎn)P滿足|PF₁|=3|PF₂|，
則P在右支上，且|PF₂|≥c-a，
由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₂|=a，由a≥c-a，即有

c

a

≤2，
則1＜e≤2．
則離心率的范圍是（1，2]．
故答案為：（1，2]

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程、定義和性質(zhì)，考查離心率公式的運(yùn)用和范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．