(2012•虹口區(qū)二模)已知:函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在區(qū)間
2,3
上有最大值4,最小值1,設(shè)函數(shù)f(x)=
g(x)
x

(1)求a、b的值及函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若不等式f(2x)-k•2x≥0在x∈
-1,1
時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)由二次函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b的對稱軸為x=1,由題意得
a>0
g(2)=1+b=1
g(3)=3a+b+1=4
,或 
a<0
g(2)=1+b=4
g(3)=3a+b+1=1
,解得a、b的值,即可得到函數(shù)f(x)的解析式.
(2)不等式即 k≤(
1
2x
)2-2•(
1
2x
)+1
,在x∈
-1,1
時(shí),設(shè)t=
1
2x
1
2
,2
,則k≤(t-1)2,
根據(jù)(t-1)2min>0,求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(1)由于二次函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b的對稱軸為x=1,
由題意得:1°
a>0
g(2)=1+b=1
g(3)=3a+b+1=4
,解得
a=1
b=0

或  2°
a<0
g(2)=1+b=4
g(3)=3a+b+1=1
,解得
a=-1
b=3>1
.(舍去) 
∴a=1,b=0…(6分)
故g(x)=x2-2x+1,f(x)=x+
1
x
-2
. …(7分)
(2)不等式f(2x)-k•2x≥0,即2x+
1
2x
-2≥k•2x
,∴k≤(
1
2x
)2-2•(
1
2x
)+1
.…(10分)
x∈
-1,1
時(shí),設(shè)t=
1
2x
1
2
,2
,∴k≤(t-1)2,
由題意可得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},故t≠1,即
1
2
≤t≤2,且t≠1.
∵(t-1)2min>0,∴k≤0,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,0].…(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.
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4
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2
2
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4x-x2 x<0
,則不等式f(2-x2)>f(x)的解集是
(-2,1)
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a
、
b
,滿足|
a
|=|
b
|
,且(2
a
+
b
)•
b
=0
,則
a
b
的夾角大小為
120°
120°

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