Question

某公司為了實現(xiàn)1 000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，開始按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25％．現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log₇x，y＝1.002^x，其中哪個模型能符合公司的要求？

Answer 1

答案：
解析：

解：借助計算器或計算機作出函數(shù)y＝5，y＝0.25 x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(如圖)，觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x 的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進行獎勵時才符合公司的要求，下面通過計算確認上述判斷． 　　首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元． 　　對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10，1 000]上單調(diào)遞增，當x∈(20，1 000)時，y＞5，因此該模型不符合要求； 　　對于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805，806)內(nèi)有一個點x0滿足1.002x0，由于它在區(qū)間[10，1 000]上單調(diào)遞增，因此當x＞x0時，y＞5，因此該模型也不符合要求； 　　對于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10，1 000]上單調(diào)遞增，而且當x＝1 000時，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求． 再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25％，即當x∈[10，1 000]時，是否有 　　令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1 000]．利用計算器或計算機作出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，由圖象可知它是單調(diào)遞減的，因此f(x)＜f(10)＜0，因此log7x＋1＜0.25x． 說明按模型y＝log7x＋1獎勵，獎金不會超過利潤的25％． 　　綜上所述，模型y＝log7x＋1能符合公司要求．

提示：

分析：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25％，由于公司總的利潤目標為1 000萬元，所以部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤，于是，只需在區(qū)間[10，1 000]上檢驗三個模型是否符合公司要求即可． 　　不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論，再通過具體計算確認結(jié)果． 　　解題心得：從本例可知，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)(斜率大于零)模型增長速度要快的多，從而可體會到“指數(shù)爆炸”的含義． 　　對數(shù)函數(shù)(底數(shù)大于1)模型比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律．