Question

在數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，．
（I）求證：a₂，a₃，a₄，…，a_n為等比數(shù)列；
（II）設(shè)b_n=na_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）這是一道典型的含有a_n+1，S_n的遞推公式來求通項(xiàng)公式的題目，利用公式，本題是先求出S_n，再由S_n求出a_n，要注意對n=1和n≥2進(jìn)行討論．最后證明從第二項(xiàng)開始是等比數(shù)列；
（II）求出b_n，據(jù)其特點(diǎn)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．
解答：解：（I）由已知，a₁=1，a_n+1=3S_n=S_n+1-S_n得4S_n=S_n+1，
所以，即{S_n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以S_n=1×4^n-1=4^n-1，
又由公式，
得到a_n=．
故當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴a₂，a₃，a₄，…，a_n為等比數(shù)列．
（II）∵b_n=na_n=，
∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n=1；
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=1+6×4+9×4¹+…+3n×4^n-2
∴4T_n=4+6×4¹+9×4²+…+3n×4^n-1，
兩式相減得-3T_n=3+3•4¹+3•4²+…+3•4^n-2-3n×4^n-1
∴T_n=[（3n-1）×4^n-1+1]，
又當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1也適合上式，
故T_n=[（3n-1）×4^n-1+1]，（n∈N^*）．
點(diǎn)評：本題屬于基礎(chǔ)題目，運(yùn)算上較為容易，另外需注意求出S_n之后，只要注意討論n=1和n≥2的情形，進(jìn)一步求出{a_n}的通項(xiàng)公式，用到的思想方法是分段討論法．（II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，首先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，選擇合適的求和方法．