Question

【題目】已知橢圓，點(diǎn)P(2，0)．

(I)求橢圓C的短軸長(zhǎng)與離心率；

( II)過(1，0)的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)MN的中點(diǎn)為T，判斷|TP|與|TM|的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）短軸長(zhǎng)為，離心率為．（Ⅱ）見解析

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得，，于是可得短軸長(zhǎng)與離心率．（Ⅱ）方法一：通過判斷點(diǎn)P與以MN為直徑的圓的位置關(guān)系可得結(jié)論．方法二：運(yùn)用作差比較的方法判斷大小關(guān)系．

詳解：（I）由題意的橢圓的方程為，

∴

∴，．

∴橢圓C的短軸長(zhǎng)為，離心率為．

（II）方法1：結(jié)論是：．

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，．

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)，

則．

又

∴，

∴點(diǎn)P在以MN為直徑的圓內(nèi)，

故．

（II）方法2：結(jié)論是．

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴．

設(shè)，

則，

∴，

∴

，

，

∵，

∴．