Question

已知函數(shù)f（x）=+2ex，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e為常數(shù)，e=2.71828），且這兩函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，并在該公共點(diǎn)處的切線相同．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）若1≤x≤e時(shí)，2[f（x）-2ex]+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用兩函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，并在該公共點(diǎn)處的切線相同，建立方程組，即可求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）由1≤x≤e時(shí)，x²+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x²-2x恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x+2e，，
設(shè)與g（x）=3e²lnx+b的公共點(diǎn)為（x，y），
則有…（3分）
解得．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以．
∴由1≤x≤e時(shí)，x²+alnx≤（a+2）x恒成立，即a（x-lnx）≥x²-2x恒成立．
∵1≤x≤e，∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號(hào)不能同時(shí)成立，∴x-lnx＞0．
∴在1≤x≤e時(shí)恒成立．…（8分）
設(shè)（1≤x≤e），則．
顯然x-1≥0，又lnx≤1，∴x+2-2lnx＞0．
所以h'（x）≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）．
∴在[1，e]上為增函數(shù)．…（11分）
故．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．