Question

【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F∥平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是（ ）
A.{t| }
B.{t| ≤t≤2}
C.{t|2 }
D.{t|2 }

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn) 分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A1M∥D1E，A1M平面D1AE，D1E平面D1AE，
∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，
∵A1M、MN是平面A1MN內(nèi)的相交直線
∴平面A1MN∥平面D1AE，
由此結(jié)合A1F∥平面D1AE，可得直線A1F平面A1MN，即點(diǎn)F是線段MN上上的動(dòng)點(diǎn)．
設(shè)直線A1F與平面BCC1B1所成角為θ
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F并加以觀察，可得
當(dāng)F與M（或N）重合時(shí)，A1F與平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1 ， 此時(shí)所成角θ達(dá)到最小值，滿足tanθ= =2；
當(dāng)F與MN中點(diǎn)重合時(shí)，A1F與平面BCC1B1所成角達(dá)到最大值，滿足tanθ= =2
∴A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍為[2，2 ]
故選：D

設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，則G為BC的中點(diǎn)．分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N，連接AM、MN、AN，可證出平面A1MN∥平面D1AE，從而得到A1F是平面A1MN內(nèi)的直線．由此將點(diǎn)F在線段MN上運(yùn)動(dòng)并加以觀察，即可得到A1F與平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不難得到A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍．