Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（0）=2，對(duì)任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，則不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)h（x）=e^xf（x）-e^x-1，則不等式e^xf（x）＞e^x+1的解集就是 h（x）＞0 的解集．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集．

解答： 解：設(shè)h（x）=e^xf（x）-e^x-1，
則不等式e^xf（x）＞e^x+1的解集就是 h（x）＞0 的解集．
h（0）=1×2-1-1=0，
h′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]-e^x，
∵[f（x）+f′（x）]＞1，
∴對(duì)于任意 x∈R，
e^x[f（x）+f′（x）]＞e^x，
∴h'（x）=e^x[f（x）+f'（x）]-e^x＞0
即h（x）在實(shí)數(shù)域內(nèi)單調(diào)遞增．
∵h(yuǎn)（0）=0，
∴當(dāng) x＜0 時(shí)，h（x）＜0；當(dāng) x＞0 時(shí)，h（x）＞0．
∴不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集為：{x|x＞0}．
故答案為：{x|x＞0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．