【題目】如圖，在各棱長均為2的三棱柱中，側面底面， .

(1) 求側棱與平面所成角的正弦值的大小；

(2) 求異面直線間的距離；

(3) 已知點滿足，在直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置，若不存在，請說明理由.

【答案】(1) ；(2) ；(3) 存在點，使平面，且為點.

【解析】試題分析：

(1)建立空間直角坐標系，結合直線的方向向量和平面的法向量可得側棱與平面所成角的正弦值的大小是；

(2)結合異面直線距離公式計算可得異面直線間的距離是；

(3)利用空間向量的結論計算可得存在點，使平面，且為點.

試題解析：

(1) ∵面底面，作于點面，

又 ，且各棱都相等

故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

∴

設平面的法向量為，

則，即，所以，取

由，∴側棱與平面所成角的正弦值的大小為；

(2)

異面直線公垂線的方向向量；

，取

異面直線的距離為

(3) ，所以點的坐標為

假設存在點符合題意，設，則

因平面， 為平面的法向量

∴

又面，故存在點，使平面，且為點.

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