已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，對定義域內(nèi)的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>1時，f(x)>0.

(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；

(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

 

（1）見解析 （2）見解析

【解析】證明： (1)因?qū)Χx域內(nèi)的任意x1、x2都有

f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

令x1＝x，x2＝－1，

則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．

又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．

再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，

從而f(－1)＝0，

于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．

(2)設(shè)0<x1<x2，

則f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1·)＝f(x1)－[f(x1)＋f()]＝－f()，

由于0<x1<x2，所以>1，從而f()>0，

故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

 

練習(xí)冊系列答案
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定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋5)＝16，當(dāng)x∈(－1,4]時，f(x)＝x2－2x，則函數(shù)f(x)在[0,2013]上的零點(diǎn)個數(shù)是________．

 

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已知函數(shù)f(x)＝，則不等式f(a2－4)>f(3a)的解集為________．

 

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若函數(shù)y＝ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)

A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減

C．先增后減 D．先減后增

 

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已知f(x)＝asinx＋bx＋c(a，b，c∈R)，若f(0)＝－2，f()＝1，則f(－)＝________.

 

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已知函數(shù)g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a為常數(shù)且a>0，令函數(shù)f(x)＝g(x)·h(x)．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并求其定義域；

(2)當(dāng)a＝時，求函數(shù)f(x)的值域．

 

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對a，b∈R，記min{a，b}＝，函數(shù)f(x)＝min{x，－|x－1|＋2}(x∈R)的最大值為________．

 

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若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1處有極值，則ab的最大值為(　　)

A．2 B．3 C．6 D．9

 

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