Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線經過點P(1,1),傾斜角．
（1）寫出直線的參數(shù)方程；
（2）設與圓相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．

Answer 1

（1）（2）2

本題考查了直線的參數(shù)方程、簡單曲線的極坐標方程和直線與圓的位置關系等知識點，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中用根與系數(shù)的關系，設而不求的思想方法．
（I）設出直線l上任意一點Q，利用直線斜率的坐標公式可得到坐標的關系：（y-1）：（x-1）=1：，再令x-1= t，以t為參數(shù)，可以得到直線l的參數(shù)方程；
（II）將圓ρ=2化成普通方程，再與直線的參數(shù)方程聯(lián)解，得到一個關于t的一元二次方程．再用一元二次方程根與系數(shù)的關系，結合兩點的距離公式，可得出P到A、B兩點的距離之積．
解：（I）直線的參數(shù)方程是
---5分
（II）因為點A,B都在直線l上，所以可設它們對應的參數(shù)為t₁和t₂,則點A,B的坐標分別為．
圓化為直角坐標系的方程．
以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到
         ①
因為t1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2．            -----------------（12分）