已知函數(shù)f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.
(Ⅰ)求證:m2+n2=0是f(x)是奇函數(shù)的充要條件;
(Ⅱ)若常數(shù)n=-4且f(x)<0對(duì)任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范圍.
【答案】
分析:(Ⅰ)先證明充分性,即m
2+n
2=0⇒f(x)是奇函數(shù),再證明必要性,即f(x)是奇函數(shù)⇒m
2+n
2=0,可用其對(duì)稱性,由特殊值代入法進(jìn)行證明
(Ⅱ)解決不等式恒成立問(wèn)題的常用方法是參變分離求最值,先討論x=0的情況,在x≠0的條件下實(shí)現(xiàn)參變分離,分別求最值即可
解答:解(I)充分性:若m
2+n
2=0,則m=n=0,∴f(x)=x|x|,
又有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).
必要性:若f(x)為奇函數(shù),∵x∈R,
∴f(0)=0,即n=0,∴f(x)=x|x+m|
由f(1)=-f(-1),有|m+1|=|m-1|,∴m=0.
∴f(x)為奇函數(shù),則m=n=0,即m
2+n
2=0.
∴m
2+n
2=0是f(x)為奇函數(shù)的充要條件.
(Ⅱ)若x=0時(shí),m∈R,f(x)<0恒成立;
若x∈(0,1]時(shí),原不等式可變形為
.即
.
∴只需對(duì)x∈(0,1],滿足
對(duì)①式
在(0,1]上單調(diào)遞減.
∴m<f
1(1)=3.③
對(duì)②式,設(shè)
,根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義可證明f
2(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,
∴f
2(x)
max=f(1).
∴m>f
2(1)=-5.④
由③④知-5<m<3.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)奇偶性的定義,充要條件的證明,不等式恒成立問(wèn)題的解法,解題時(shí)要規(guī)范解題,善于總結(jié),縝密思維,準(zhǔn)確作答