Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}，（x≥0）}\\{ln（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，其中a＞1．
（1）寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（不需寫過程）；
（2）若f（x）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點有兩對，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}，（x≥0）}\\{ln（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，a＞1，結(jié)合二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點有兩對，則函數(shù)y=lnx與$y={\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}$的圖象有兩個交點，解得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，$\frac{a-1}{a}$]；
（2）若f（x）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點有兩對，
則函數(shù)y=lnx與$y={\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}$的圖象有兩個交點，
即函數(shù)g（x）=${\frac{a}{2}x}^{2}+（1-a）x+\frac{3}{2a}-lnx$有兩個零點；
∵g′（x）=ax+（1-a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+（1-a）x-1}{x}$，
令g′（x）=0，則x=1，或x=-$\frac{1}{a}$（舍去），
∵當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
故x=1時，g（x）取小值為$-\frac{a}{2}+1+\frac{3}{2a}$，
則$-\frac{a}{2}+1+\frac{3}{2a}$＜0，
解得：a＞3，或-1＜a＜0（舍去），
綜上所述：a＞3．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象的交點，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．