Question

（2012•杭州二模）如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若

OC

=m

OA

+n

OB

，則m+n的取值范圍是（　�。�

A．（0，1）

B．（1，+∞）

C．（-∞，-1）

D．（-1，0）

Answer 1

分析：先利用向量數(shù)量積運算性質(zhì)，將

OC

=m

OA

+n

OB

兩邊平方，消去半徑得m、n的數(shù)量關系，再利用特殊值代入法排除B、C，利用向量加法的平行四邊形法則，可判斷m+n一定為負值，排除A，從而可得正確選項

解答：解：∵|OC|=|OB|=|OA|，

OC

=m

OA

+n

OB

，
∴

OC

 2=(m

OA

+n

OB

) 2=m2

OA

2+n2

OB

2+2mn

OA

•

OB

∴1=m²+n²+2mncos∠AOB
當∠AOB=60°時，m²+n²+mn=1，即（m+n）²-mn=1，即（m+n）²=1+mn＜1，
∴-1＜m+n＜1，排除 B、C
當

OA

，

OB

趨近射線OD，由平行四邊形法則

OC

=

OE

+

OF

=m

OA

+n

OB

，此時顯然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，排除A；
故選 D

點評：本題主要考查了平面向量的幾何意義，平面向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理，平面向量數(shù)量積運算的綜合運用，排除法解選擇題，難度較大