Question

函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，根據(jù)x＞2時(shí)，|log_ax|＞1 恒成立，分0＜a＜1 和a＞1兩種情況，分別求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：由題意，y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，
∴對底數(shù)a分兩種情況討論，即0＜a＜1與a＞1．
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=log_ax在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y=log_ax＜log_a1=0，則函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，等價(jià)于函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有y＜-1，
∵y=log_ax＜log_a2，
∴l(xiāng)og_a2≤-1=log_aa^-1，解得，a≥

1

2

，
∴a的取值范圍為

1

2

≤a＜1；
②當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_ax在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y=log_ax＞log_a1=0，則函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有|y|＞1，等價(jià)于函數(shù)y=log_ax在x∈（2，+∞），恒有y＞1，
∵y=log_ax＞log_a2，
∴l(xiāng)og_a2≥1=log_aa，解得，a≤2，
∴a的取值范圍1＜a≤2；
綜合①②可得，a的取值范圍為

1

2

≤a＜1或1＜a≤2．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與絕對值不等式的解法，當(dāng)對數(shù)的底數(shù)是參數(shù)時(shí)，一般需要對參數(shù)的范圍時(shí)進(jìn)行分類討論．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值不等式與指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解答方法，即熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．此題綜合考查了恒成立問題與分類討論的數(shù)學(xué)思想．屬于中檔題．