Question

（1）直線(xiàn)l：y=x+b與拋物線(xiàn)C：x²=4y相切于點(diǎn)A，求實(shí)數(shù)b的值，及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）在拋物線(xiàn)y=4x²上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線(xiàn)y=4x-5的距離最短．

Answer 1

分析：（1）直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用△=0，即可求實(shí)數(shù)b的值，及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）設(shè)拋物線(xiàn)y=4x²上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出這點(diǎn)到直線(xiàn)y=4x-5的距離，利用配方法可求最短距離，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由

y=x+b x2=4y

得x²-4x-4b=0①． 
因?yàn)橹本�(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切，所以△=16+16b=0，解得b=-1；
代入方程①即為x²-4x+4=0，解得x=2，所以y=1，
故點(diǎn)A（2，1）．
（2）設(shè)點(diǎn)P（t，4t²），距離為d，
則d=

|4t-4t2-5|

17

=

|4(t- 1 2 )2+4|

17

當(dāng)t=

1

2

時(shí)，d取得最小值，此時(shí)P（

1

2

，1）為所求的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．