Question

13．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，AA₁=1，E為BB₁的中點(diǎn)，求證：平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析 取AC₁的中點(diǎn)F，連接EF，A₁F，A₁E，運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，由線面垂直的判定，可得EF⊥平面AA₁C₁C，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：取AC₁的中點(diǎn)F，連接EF，A₁F，A₁E，
在直角三角形ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
在直角三角形B₁C₁E中，C₁E=$\sqrt{{B}_{1}{E}^{2}+{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$
=$\sqrt{4+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
即有△ACE₁為等腰三角形，且FE⊥AC₁，
FE=$\sqrt{A{E}^{2}-\frac{1}{4}A{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}（4+4+1）}$=$\sqrt{2}$，
在直角三角形AA₁C₁中，A₁F=$\frac{1}{2}$AC₁=$\frac{3}{2}$，
又A₁E=$\sqrt{4+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
由A₁E²=FE²+A₁F²，可得EF⊥A₁F，
又FE⊥AC₁，即有EF⊥平面AA₁C₁C．
由于EF?平面AEC₁，
則平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定定理的運(yùn)用，考查空間直線和平面的位置關(guān)系，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．