Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5則a的最大值為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．.4

Answer 1

分析：根據(jù)柯西不等式當(dāng)n=3時(shí)的不等式：（x12+x22+x32）（y12+y22+y32）≥（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²，得到（2b²+4c²+4d²）（

1

2

+

1

4

+

1

4

）≥（b+c+d）²．從而得到關(guān)于a不等式：5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，最后根據(jù)柯西不等式取等號(hào)的條件，找到當(dāng)b=

1

2

，c=d=

1

4

時(shí)，a有最大值2．

解答：解：根據(jù)柯西不等式，得（2b²+4c²+4d²）（

1

2

+

1

4

+

1

4

）≥（b+c+d）²
當(dāng)且僅當(dāng)2b=4c=4d時(shí)，等號(hào)成立
∵a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5
∴5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)2b=4c=4d且b+c+d=1時(shí)，即當(dāng)b=

1

2

，c=d=

1

4

時(shí)，a有最大值2．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題在a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5的情況下，求實(shí)數(shù)a的最大值，著重考查了柯西不等式及其應(yīng)用，屬于中檔題，解題時(shí)應(yīng)該注意柯西不等式等號(hào)成立的條件．