Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），若x∈[-2，0]，則f（x）=x+2，下面是關(guān)于f（x）的判斷：
①f（x）關(guān)于點(diǎn)P（1，1）對(duì)稱；    
 ②f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③f(

2

)=f(8-

2

)；         
④f（x）滿足f（x+2）=f（4-x）；
⑤f（x）滿足f（x+3）=f（x-5）．
其中正確的判斷是

①③⑤

（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性分別分析5個(gè)選項(xiàng)，由此能夠求出正確結(jié)果．

解答：解：①∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），
∴f（-x）=f（x），f（2+x）=-f（-x），
且f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，故①正確；
②∵x∈[-2，0]，則f（x）=x+2是增函數(shù)，
∴x∈[0，2]，則f（x）=x+2是減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
③∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f(

2

)=f(8-

2

)，故③正確；
④∵f（x）滿足f（x+2）=-f（x），f（4-x）=f（x），
∴④錯(cuò)誤；
⑤∵f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）滿足f（x+3）=f（x-5）．故⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是中檔題．