Question

某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資關(guān)系如圖（1）所示；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示（注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元）．

（1）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．問(wèn)怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）對(duì)于A，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，因?yàn)閳D象過(guò)（2，0.5）和原點(diǎn)，當(dāng)x＞2時(shí)，圖象過(guò)（2，0.5）和（3，1），可得函數(shù)的解析式；對(duì)于B，易知y=2

x

(x≥0)．
（2）設(shè)投入B產(chǎn)品x萬(wàn)元，則投入A產(chǎn)品（18-x）萬(wàn)元，利潤(rùn)為y萬(wàn)元．分16≤x≤18時(shí)，0≤x＜16時(shí)兩種情況求出函數(shù)的最大值，比較后可得答案．

解答： 解：（1）對(duì)于A，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，因?yàn)閳D象過(guò)（2，0.5），所以y=

1

2

x，…2分
當(dāng)x＞2時(shí)，令y=kx+b，因圖象過(guò)（2，0.5）和（3，1），得

1 2 =2k+b 1=3k+b

，
解得k=

1

2

，b=-

1

2

，故y=

1 2 x，0≤x≤2 1 2 x- 1 2 ，x＞2

；…4分
對(duì)于B，易知y=2

x

(x≥0)．…5分
（2）設(shè)投入B產(chǎn)品x萬(wàn)元，則投入A產(chǎn)品（18-x）萬(wàn)元，利潤(rùn)為y萬(wàn)元．
若16≤x≤18時(shí)，則0≤18-x≤2，則投入A產(chǎn)品的利潤(rùn)為

1

2

(18-x)，投入B產(chǎn)品的利潤(rùn)為2

x

，則y=

1

2

(18-x)+2

x

，令

x

=t，t∈[4，3

2

]，
則y=-

1

2

t2+2t+9，此時(shí)當(dāng)t=4，即x=16時(shí)，y_max=9萬(wàn)元；…8分
當(dāng)0≤x＜16時(shí)，2＜18-x≤18，則投入A產(chǎn)品的利潤(rùn)為

1

2

(18-x)-

1

2

，投入B產(chǎn)品的利潤(rùn)為2

x

，則y=

1

2

(18-x)+2

x

-

1

2

，令

x

=t，t∈[0，4），
則y=-

1

2

t2+2t+

17

2

，當(dāng)t=2時(shí)，即x=4時(shí)，y_max=10.5萬(wàn)元；…11分
由10.5＞9，
綜上，投入A產(chǎn)品14萬(wàn)元，B產(chǎn)品4萬(wàn)元時(shí)，總利潤(rùn)最大值為10.5萬(wàn)元．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的選擇與應(yīng)用，函數(shù)的最值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．